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蒙提霍爾問題
蒙提霍爾問題，又稱為山羊問題或三門問題，是一個源自博弈論的數學遊戲問題。它考驗著人們對概率和直覺的理解。
問題簡述：
有三扇門，其中一扇門有汽車，而另外兩扇門有山羊。參賽者會看見三扇門，並選擇一扇門。然後，主持人會開啟另一扇是山羊的門。然後，他會問參賽者是否要改變選擇。
解答：
根據統計學，如果參賽者最初選中沒獎品的門，換門可以得到汽車的機率為2/3。如果參賽者最初就選到有獎品的門，那麼換門就銘謝惠顧了。
解法：
- 根據機率論，每一個門後有汽車的機率皆為1/3。
- 當主持人開啟剩下兩扇門中的其中一扇門時，一定挑有山羊的門。
- 因此，如果參賽者在換門時選擇與主持人打開的那扇門不同的門，則有2/3的機率贏得汽車。
結論：
換門是這個問題的最佳策略。換門可以得到汽車的機率為2/3。
三扇門問題：機率、直覺和逆轉期望
三扇門問題是機率論中著名的思考實驗之一，最早是由 Monty Hall 提出。這個題目看似直白，卻隱含著機率直覺與反直覺的交錯，並挑戰我們對於期望值的認知。
問題敍述：
您參加了一個遊戲節目，面前有三扇門。您知道其中一扇門後面藏有一輛豪華轎車，另外兩扇門後則藏有山羊。主持人讓您選擇其中一扇門，希望贏得豪華轎車。您選擇了一扇門後，主持人打開剩下的兩扇門中的其中一扇，露出了一隻山羊。現在，主持人給您一個機會：您可以維持原本的選擇，或是改選另一扇未被打開的門。請問，您應該維持原本的選擇，或是改選另一扇門？
直覺與邏輯
許多人直覺上會認為，既然主持人打開了一扇有山羊的門，那麼剩下兩扇門的概率應該是相等的，都是 50%。因此，維持原來的選擇和改選都沒有區別。
然而，這種直覺是錯誤的。實際上， 改選另一扇門會大大提升您贏得豪華轎車的概率。
機率分析
為了理解這一點，我們不妨使用表格來分析一下改選和不改選的概率：
| 選擇 | 不改選擇 | 改選擇 |
|---|---|---|
| 原本門是正確的 | 贏 | 輸 |
| 原本門是錯誤的 | 輸 | 贏 |
我們可以看到：
- 如果原本選擇的門是正確的，無論您改選與否，都無法贏得豪華轎車；
- 如果原本選擇的門是錯誤的，只有您改選擇，才能贏得豪華轎車。
因此，改選擇可以確保您在原本選擇的門是錯誤的情況下贏得豪華轎車，而維持原本選擇則只能在原本選擇的門是正確的情況下才能贏。
更進一步來説，在三扇門中，只有一扇門隱藏着豪華轎車，另外兩扇門都隱藏着山羊。您第一次選擇的概率是 $\frac{1}{3}$ ，而主持人打開其中一扇有山羊的門後， 剩下的兩扇門中只有一扇隱藏着豪華轎車的概率就變成了 $\frac{2}{3}$。因此， 改選的概率是 $\frac{2}{3}$ ，是維持原來選擇的概率 $\frac{1}{3}$ 的兩倍。
逆轉期望
三扇門問題也挑戰着我們對於期望值的理解。期望值是指事件的各個可能結果乘以其各自概率的總和。直覺上，我們可能會認為改選擇和不改選擇的期望值應該是相同的，但實際上並非如此。
不改選擇的期望值為：
$$E_1 = \frac{1}{3} \times 0 + \frac{2}{3} \times 1 = \frac{2}{3}$$
改選擇的期望值為：
$$E_2 = \frac{2}{3} \times 1 + \frac{1}{3} \times 0 = \frac{2}{3}$$
可以發現， 不改選擇和改選擇的期望值都是 $\frac{2}{3}$ ，看起來並沒有什麼差別。但是，需要注意的是，期望值只是事件所有結果的平均值，它並不能反映事件實際發生的概率。
在三扇門問題中， 如果原本的選擇是正確的，改選擇沒有任何意義；但如果原本選擇的門是錯誤的，改選擇則可以幫助您贏得豪華轎車。 因此， 從實際的角度來看, 改選擇的概率更高，更值得選擇，即使它的期望值與不改的選擇相同。
結論
三扇門問題是一個經典的機率問題，它揭示了直覺與邏輯的衝突，以及期望值背後的奧秘。 通過分析這個問題，我們可以學習到如何運用邏輯推理和機率計算來做出更好的決策， 並打破直覺的束縛，做出最優選擇.